式中: α为形状参数, β为尺度参数, 二者一般大于零。Γ(α) 为伽马函数, 其表达式为:
α和β由极大似然估计法估算得到:
式中: $ A=\ln \left({\bar{x}} \right)-\frac{\sum{\ln \left(x \right)}}{n}$, n为样本数, ${\bar{x}} $为降水平均值。进一步可得对于降水量x的累积概率密度函数 (该站点出现降水量小于x的概率) 为:
使得t=x/${\hat{\beta }} $, 上式变为不完全伽马函数:
由于伽马函数没有定义x=0这种情况, 但降水分布则可能包含有降水值为0的情形, 累积概率密度函数变为:
式中: q代表降水值为0的概率。将累积概率H(x) 转换成均值为0、方差为1的标准正态分布, 其所对应的值即为SPI:
其中:
黄土高原站点平均的春季降水的年际变率, 即年均方差与平均值的比值, 约在11%~21%之间。其中, 年际变率大值区位于陇东地区, 包括盐池、吴旗、环县、西峰镇、长武、武功等站。单从春季降水量来说, 这些地区春季干湿变化应该最为剧烈。通过后面的分析可以看到, 这一地区春季SPI的变化同样非常剧烈。
根据降水的气候态分布特征, 将黄土高原划分为四个区域。其中, 年均降水量大于500 mm为Ⅰ区, 包括长治、临汾、阳城、孟津、运城、三门峡、洛川、铜川、武功、长武。Ⅱ区的年均降水量在400~500 mm之间, 有大同、右玉、离石、衡山、延安、环县、西峰镇、平凉等地区。Ⅲ区的年均降水量在300~400 mm之间, 包括呼和浩特、包头、盐池、榆中、民和、西吉、华家岭等地。Ⅳ区的年均降水量小于300 mm, 包括临河、惠农、陶乐、银川、鄂托克旗、中宁、景泰。
通过三个典型春旱年的比较可以发现, 春季降水异常尽管很大程度上决定了当年春旱的严重程度, 但春季降水异常与SPI的空间分布存在明显的差别。
为了说明影响黄土高原春季SPI的主要因素, 选取景泰和中宁两个站点来进行对比。景泰站和中宁站的气候态平均春季降水量接近, 分别为33 mm和34 mm; 春季降水EOF第一模态空间场的数值也接近, 为0.081和0.082;两个站的春季SPI的EOF第一模态的空间场则有差异, 分别为0.126和0.153。这就是说景泰和中宁两站的春季降水特征, 无论是气候态均值还是逐年变化, 都非常接近, 但两站的SPI变化幅度仍然存在差别。下面就从SPI的定义来说明两个站点出现差异的原因。
通过前面的分析可知, 具体年份观测站点的SPI不仅受到当年降水量的直接控制, 还与站点历史降水形成的概率密度特征紧密相关。由于降水的概率密度函数一般是从长时间降水序列中得到的, 因此可以认为它在未来一段时间内也是稳定不变的。在这种情况下, 对于具体台站来说, 未来黄土高原的春旱特征从SPI的角度来看就可以认为只受当年春季降水量控制。下面就给出三种理想春季降水情境下的高原SPI分布。
通过对黄土高原52个站点的春季降水进行比较, 计算标准化降水指数来表征春旱, 得出如下主要结论:
(1) 黄土高原春季降水约占年总降水量的20%, 二者气候态空间分布均为从东南部向西北部递减。春季降水年际变率最大的地区在甘肃陇东, 黄土高原绝大部分地区的春季降水在1980-2014年间都有减少的趋势。
(2) 高原春季SPI与春季降水异常的时间变化非常接近, 二者EOF第一模态时间系数相关性达0.95(通过了99%信度检验)。与此同时, 二者EOF第一模态的空间场却存在差别, 表现为SPI主要变化集中于高原中部偏西, 而降水的空间场分布则从南向北递减。
(3) 高原上南部站点的降水概率主要集中在大值降水处, 而北部则以较小春季降水发生的最为频繁。因此, 当一次春季降水异常减少的事件发生在高原南部, 则会造成严重的春旱; 但若发生在高原北部, 则其所对应的春旱等级要低得多。