讲庞加莱之前，先来讲一段故事。
第一次世界大战期间，一位英国军官问罗素：“法国现代最伟大的人是谁？”
罗素毫不犹豫地回答：“庞加莱！”
军官觉得有些不可思议，问道：“什么？就那个家伙？”
罗素这才想起来，目前法国有两个庞加莱，说道：“我说的并不是法兰西共和国总统雷蒙·庞加莱，而是他的堂兄弟亨利·庞加莱。”
5岁的时候，庞加莱患了一场病，健康受到了严重的影响，他虚弱而胆小，看上去和其他小伙伴们总是玩不到一起去。他的娱乐活动就是看书，令人惊讶的是，他似乎是有过目不忘的本领，一旦读了一本书之后，就永远不忘。这位天才一生都保持着惊人的记忆力，就和冯·诺依曼一样。
很多人可能会认为，这些一流的数学家从小就偏科吧。赶紧消除脑海中的刻板观念吧，至少就庞加莱而言，他的小学成绩都很有优异，几乎所有的功课对他来讲都很容易。当别的小朋友都在思考作业怎么做时，他早已腾出了时间，自己到一边玩耍，或帮妈妈做家务。
和许多天才一样，庞加莱经常忘记去吃饭，他很多时候都不记得自己是否吃过早饭。或许，他的记忆力在这方面被让渡出去太多了。
对数学的热情，始于15岁，他是一个心思缜密的人，只有当一切都想好之后才写下来。他对古典文学也有着非凡的鉴赏力。毋宁说，很少有数学家是语文不好的，这点吴军博士在他的课程中说过，当时没当一回事，现在看下来，吴军诚不欺我啊！
1870年，普法战争爆发，第二年，17岁的庞加莱前来参加考试，结果数学差点挂了。不是因为他不行，而是因为他迟到了，考试的时候也慌了神，在收敛几何级数求和公式的极其简单的证明上失败了。尽管如此，主考官还是宣称：“除了庞加莱，其他人都应该不及格。”
庞加莱的思维总是很敏捷，当别人还在想过程的时候，他的答案就已经出来了。好像给出答案对他来讲就像吐一口气那么简单。
后来，他以第一名的成绩考入了综合工科学校，他在数学上具有极高的天赋，但他也有自己的软肋，即体育和绘画，这两项对他来讲几乎都是零分。由于绘画不行，因此他学习几何学的时候就要困难一些。
1875年，庞加莱21岁，离开了综合工科学校，去了高等矿业学校。他可能是想当一名工程师，但一有时间也会研究数学。他在着手解决微分方程的一个一般问题上，显示了他的能力。3年后他向巴黎的科学院提交了一篇同一题目的论文，作为数学博士论文，但是这篇论文涉及到了一个更困难也更一般的问题。
但是问题也来了，被请去审查这项工作的人请他修改或解释论文中的内容，但庞加莱是一个靠直觉吃饭的人。或许我们可以叫他“小费马”，因为他一旦给出了答案，就很少再去纠结过程。
数学在很多人眼里是逻辑的，而在庞加莱眼里，数学就像艺术，是靠直觉的。当然，也不仅仅只是靠直觉。
从这之后，庞加莱进入了自己的黄金期，一直到自己死去，他创作了大量的论文。近500篇的新数学论文，其中很多是范围广泛的研究报告，还有30多部实际上包括了数理物理学、理论物理学和理论天文学当时的所有分支的著作。这还没有计入他关于科学哲学的那些名著和他的通俗文章。
1889年，庞加莱在数理天文学上获得了第一次成功，尽管这次成功不是一次彻底的成功，但由瑞典国王发起、魏尔斯特拉斯等人组成的评委团还是将奖金颁发给了庞加莱。这个问题是比三体问题更加复杂的“n体问题”。另一方面，他又证明了动力学系统基本上都是不可积的。当然，关于这个话题，恕我也难以解释。
随后的几年，19世纪中的最后十年中，庞加莱陆续出版了他的著作《天体力学新方法》，这本书总共分为3卷，后来他又出版了他的课程讲义《流体质量平衡的图形》，和一本历史性评论著作《关于宇宙论假设》。
关于天文学上的很多工作，庞加莱的主要方向不是定量的，而是定性的，似乎这正如他一生的哲学思想，没错，他是一个直觉主义者。或许数学需要他这样的想象力，这种想象力随后又将他引入了拓扑学，这也催生了庞加莱猜想。
那么问题来了，庞加莱猜想是什么呢？他猜了哪些东西呢？
这就要先回到拓扑学，简单来讲，拓扑学是关于结构和空间的基本性质的学科。比如，一个甜甜圈，中间有一个洞，还有一个带把手的茶杯。这两个东西在大部分人眼里是两个东西，但在拓扑学中，它们是一样的，都有一个洞。再比如，一个球面，可以任意拉伸，揉捏，只要不粘在一起或撕破它，它仍然是一个球。
拓扑学大致分为点集拓扑、代数拓扑和微分拓扑，而庞加莱正是代数拓扑学的奠基人，他在1904年提出了这个猜想：单连通的三维闭流形必与三维球面S³同胚。
简单来讲，就是在任何一个封闭的三维空间中，只要它里面所有的封闭曲线都可以收缩成一点，那么这个空间就一定是一个三维球形。
这个猜想目前已经被证明了，因此也可以叫庞加莱定理了，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。
最后讲一个关于庞加莱有关的趣事吧。爱因斯坦与庞加莱只在学术会议上见过一次面，青年爱因斯坦非常希望德高望重的老庞能支持自己的相对论。但是那次会议结束后，爱因斯坦非常失望，说：“庞加莱不懂相对论。”
事实上，庞加莱直到去世也未发表过赞同“相对论”的意见。
杨振宁教授指出，洛伦兹与庞加莱都曾非常接近相对论的发现。但是洛伦兹只有近距离的眼光，没有远距离的眼光，他只重视实验与观测，缺乏哲学思考；庞加莱只有远距离的眼光，缺乏近距离的眼光，他只重视数学和哲学思考。而爱因斯坦是远近距离兼有，因此是他创造了相对论。
庞加莱的晚年，尽管受疾病困扰，但在学术界的名誉可算是实至名归。1912年7月，他做了一次手术。几天后，当他穿衣服的时候，突然去世。当时他只有59岁，或许上帝若是再多给他几年，他说不定还会带来更多的成就呢，没准认可了爱因斯坦的相对论也不是不可能。