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数学充满了那些乍看之下应该容易解决，但深入研究后却异常困难的未解问题。这些问题不仅是数学发展的重要基石，还能激发数学家们数百年来的探索与发现。例如，费马大定理(Fermat’s Last Theorem)就是这样一个问题。
该问题最早由费马在17世纪初提出，并在公众中引起了极大的兴趣。许多数学爱好者尝试证明它，甚至有人设立了现金奖励来鼓励解答。数千篇错误的证明被提交，但直到1994年，安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)才最终成功证明了它，这距离费马最初提出这个问题已经过去了三百多年。
对于所有正整数 即( ),当 时，方程：
没有正整数解。
在这几百年对费马大定理的研究过程中，数学家们为了解决这个问题，甚至创造了一个全新的数学领域——代数数论(Algebraic Number Theory)。尽管最终证明这个定理的过程异常艰难，但它的挑战性促使数学家不断发展新的方法和工具，使得数论(Number Theory)能够发展至今天的水平。可以说，如果没有费马大定理，数论可能不会发展成今天的样子。
然而，现在费马大定理已经被解决，它对未来数学发展的推动作用也随之减少。目前，数学家们关注的焦点主要是寻找更简单的证明方法，因为怀尔斯的证明长达100多页。或许某种更简洁、更直观的证明方法依然存在？
不过，现在仍有许多未解决的数学问题，它们和费马大定理一样简单易懂，但却仍然困扰着数学家。其中一个最著名的就是考拉兹猜想(Collatz Conjecture)。
洛塔·考拉兹(Lothar Collatz) 是20世纪的一位德国数学家。他最广为人知的贡献便是提出了考拉兹猜想，但他在数学图论的谱理论(Spectral Graph Theory)方面也有重要贡献，这一领域研究图与其特征多项式之间的联系。
要了解Collatz 猜想的工作原理，首先选择任意一个整数 。然后对其执行以下两个操作之一。
如果 为偶数，则将 除以二
如果 为奇数，则将其乘以 并加
不断重复这个步骤，试着自己选几个数字，看看会发生什么！亲自尝试对于理解这个问题非常重要。建议你先自己动手实验一下，再继续阅读后续内容。
你可能会发现，大多数情况下，数字最终都会进入这样一个循环：
考拉兹猜想的核心陈述就是：
对于所有正整数 ，这个过程最终都会进入循环 ，换句话说，所有正整数最终都会收敛到 。
这个问题如此简单，以至于小学生都能理解，但至今没有人能给出严格的数学证明来说明它是否对所有正整数都成立。
如果你选的某个数最终没有进入 循环，那就赶紧发表你的发现吧！
当我第一次听说考拉兹猜想时，我也像许多数学家一样，觉得自己或许可以找到突破口。我尝试从 开始逆推，看看有哪些数字可以通过上述步骤构造出来。如果我能证明所有正整数都能这样构造出来，那么问题就迎刃而解。然而，显然，我的尝试没有成功，不过我还是从中收获了很多乐趣。
数学家们尝试理解考拉兹猜想时，提出了一个有用的概念——停机时间(Stopping Time)。停机时间是指一个数经过多少步才能到达 。
从图中可以看到：
但其中也存在一些明显的模式，例如2的幂(如1024, 2048, 4096)停机时间较短。这是因为它们在整个过程中只会不断地除以 2，从不增加值，因此它们比周围的数更快收敛到 1。
大多数数学家都相信考拉兹猜想是正确的。这是因为：
它在所有已测试的数字(小于 )上都成立。
如果它不成立，意味着要么存在另一个循环(类似 )，要么存在一个无限增长的数列。而这两种情况都极不可能。
有些人认为，以我们现代的工具，科拉兹猜想是遥不可及的。令人惊讶的是，在这方面取得的进展如此之小。根本的困难在于素数分解。如果你不熟悉这个概念，这是一个里程碑式的事实，已经用数论证明了。每个整数都可以写成素数的唯一乘积。例如， 和 。这个事实非常重要，它被称为算术基本定理。
Collatz 猜想过程的工作原理是检查数字是否为偶数，并根据答案执行步骤。另一种看待这个问题的方式是检查数字的因式分解中是否有 。由于 包含 ，因此它是偶数。相反， 不包含 ，因此它不是偶数。在Collatz 猜想过程中的下一步由此检查决定。
假设我们有一个数字 的质因数分解。预测 的质因数分解非常容易。只需去掉 。 变成 。乘以 也很容易。 变成 。一般来说，乘法和除法在质因数分解中都很容易表示，因为你已经将一组数字相乘了。但是，用这种方式表示加 非常困难。
我们几乎没有理论告诉我们 的质因数分解如何指导 的质因数分解。数学在这方面非常缺乏。我们能得出的最接近的结论是，如果 的质因数分解中有 ，那么 就不会有，反之亦然。这就像说给一个数字加一会将其从偶数变为奇数，或相反。而且由于质因数分解对于确定下一步至关重要，所以我们没有太多可利用的东西。
例如，考虑从 到 的步骤。素数分解从 变为 ，其中 是素数。我们知道，如果 为奇数，则 为偶数，因此我们预计最终的素数分解结果为 。但目前还没有理论可以预测 的出现。我们目前对素数理解的这个漏洞限制了我们在Collatz 猜想上取得进展。
“数学可能还没有准备好解决这样的问题。”——保罗·埃尔德什
如果你想了解这个问题背后的理论以及为什么它如此难以解决，可以参考下面这个资料。