摘要：f(f(x))=(3x+1)/2^k 形式的函数，是每次局部环状迭代、累计整体树状递归的函数，其每个奇数初始值迭代生成的一组解集都必定会收敛到1（即Collatz猜想）。对于每个不等于1的初始值所获得的迭代解集总是非循环和非发散的。作者利用三元方程解因子互素规律和解因子同构性质证明了这一结论。侧重前者用于证明解集不是循环的，侧重后者用于证明解集不是发散的。证明了这两个命题，也就证明了Collatz猜想。此外，利用加权本原解思想或不等式变换法则以及洛书定理亦可证明该猜想成立。
关键词：解集因子互素；解集因子同构；加权本原解；初始值；解集基底互素；迭代集不循环；迭代集不发散。
1.互素以及同构关系的判定与考拉兹猜想。
f(x)=1 (x=1)
f(x)= x/2k (x=奇数·2k)
f(x) = 3x+1 (x=奇数)
每次初始值的迭代解集都会奇偶归1。
这就是考拉兹（Collatz）猜想，也被称为角谷猜想，或冰雹猜想，或3x+1猜想，或哈塞猜想，或乌拉姆猜想，或叙拉古猜想。题面看起来极其简单，却是历经86年仍未解决的高难问题。本文对此有重大进展，其突破点是利用三元方程解集基底互素思想解决了Collatz迭代方程解集是否会循环的问题；并在此基础上利用三元方程解集因子同构思想，解决了Collatz迭代方程解集是否会发散的问题。
Collatz猜想的表达式是：f（x=1（当x=1时），f（x）=x/2（当x是偶数时），f（x）=3x+1（当x为奇数时），取任何正整数，代入上面的表达式，最后它将等于1。f(f(x))=(3x+1)/2^k (奇数 x ≥1) 是它的简洁表达，令“/2^k”为移除每次偶数中的所有因子2。
将初始值7代入，迭代解集如下：7，11，17，13，5，1。将初始值9代入，迭代解集如下：9，7，11、17、13、5，1，将初始值15代入，迭代解集如下：15，23，35，19，29，11，有些解集数值有相同的素因子，如15和35，但在达到1之前，每次迭代集没有相同数值，尽管有公因子。
“/2^k”表示去除所有因子2的操作。迭代表达式有利于集中呈现每个奇数迭代解集，并比较每个解集的奇数之间的关系。
“3x+1迭代函数”的性质：f（f（x））=（3x+1）/2^k（x是奇数）形式的迭代函数称为Collatz迭代函数，其中/2^k是将3x+1函数的值除以其中包含的所有因子2的运算。每次3x+1中的因子2的个数，与参数k的个数相对应。该方程的性质如下：①任何奇数生成元的解集在每次迭代中都是有限个的，除1外，它不会无限迭代循环；②任何生成元每次迭代的解集都是有限个的，并且必须包含1，它不会无限迭代发散。
包括Terence Tao的老师Paul Erds在内的许多数学家表示，现代数学还没有准备好解决Collatz猜想，需要新的数学干预。作者认为，不一定需要使用新数学，也可以从新视角出发使用新工具来尝试解题。比较三元方程解集之间的互素关系和同构关系是一种很好的方法，可以用来解决Collatz猜想。
1.1.f(f(x))=3x+1/2k函数任意奇初始值的迭代解集都蕴含1。
一个迭代方程，形式为f（f（x））=（3x+1）/2^k（x是奇数），其中2^k是3x+1中的所有因子2，由任何初始值生成的迭代解集“不会循环”和“不会发散”，也就是说，经过有限次不同的迭代运算后，必须有一个奇数解1。由于每个迭代解集基底互素不能生成循环解，这导致要么远离一个固定数，要么接近一个固定数。因为迭代解集的素因子不会继续循环，也不会全部发散，所以在每次迭代计算3x+1值时，必须有一个值可以表示2的幂。
“3x+1”问题的奥秘在于，一位母亲看着她的小女儿出去打酱油。每次她都期待着她早点回来，但她不知道小女儿去了哪里打酱油，她是否会经历一个总是重复的迷宫，是否会掉进无限黑洞。然而，解集基底互素的思想可以解决所有这些问题。
1.2.每个初始值的迭代方程解集不得具有循环解。
迭代方程3x+1=2^k•y, y 也是x的解集，取y=f(x)(x，y为奇数），我们可以得到以下迭代方程： f(f(x))=(3x+1)/26k, (2……k是每个3x+1迭代函数中的所有因子2，“3x+1系数1/2^k ”定义为对对象进行无2因子运算），其中，每个迭代生成元x的生成对象f（x）也属于生成元x，因此每个解集必须不具有循环解。
根据基底互素思想（详见《三元方程解集基底互素定理可解决大量久未解决的丢番图问题》一文），可分析生成元和生成对象之间的素因子关联。互素关系，本质上有素因子补集运算的意思，二元异类相加，总能得到另一异类。方程3x＋1＝2^k•y在三元组中，3x与1是解集因子同态的，2^k•y与1是解集因子同态的，3x与2^k•y是解集互异的，根据“同态型”基底互素定理可知，3x与2^k•y是解集基底互素的。3x与2^k•y彼此有不共素因子，可知3x1＋1＝2^k•x2，3x2＋1＝2^k•x3。用前一个方程减去后一个方程，3x1-3x2＝2^k•x2-2^k•x2，变换为3x1+2^k•x3＝(3+2^k)x2，因为3同(3+2^k)x2是互素的，3x1与x2是互素的，但(3+2^k)与x1可包含非互素，故3x1与(3+2^k)x2是互素的，3x1与2^k•x3是互素的（某些是去除非1公因子w后互素的，这里的互素不包含“1和1”型互素）。
三元方程互素定理，这里重提一下证明，因为证明考拉兹猜想用它就足够，完整的解集基底互素定理的证法，本文暂且不表，仅证明引用部分。三元方程a+b=c,如果有一对a与b互素，则三元两两互素，如果不互素，方程两边除以公因子，则方程左边真分数等于方程右边整数，矛盾，于是三元方程互素定理得到了证明。例如，a+1=b，相邻整数必是互素的，根据三元互素定理，a与1互素，则a与b必是互素的。
还有一种类型x与y是解集因子同构的，其中包含“1与1”互素型同构以及须约掉公因子w后的“1与1”互素型同构，前者有唯一解，就是初始值1，可得到解集因子同构的循环解。后者初始值x1与生成对象x2是互素的，初始值x2与生成对象x3也是互素的，初始值x1与生成对象x3即便是因子同构的，也是数值互异的，迭代集是非循环的。可见只要不是三元方程都解集因子全部同构，三元解集就一定是互异集，证明详见下文。
顺带提一下，解集基底互素的定义就是，两个解集无论是否有公因子，彼此都有对方没有的素因子，称为基底互素。
可以看出，以下联立方程，当初始值为x1时，迭代得到x3：
3x1＋1＝2^k•x2 （此必为三元互素方程） (1)
3x2＋1＝2t•x3 （此必为三元互素方程） (2)
根据 (1)-（2）⇒ 3x1+2t•x3 ＝(3+2^k)x2 (3)
3·(1)+2^k·（2）⇒9x1＋(3+2^k)＝2^k+t•x3 (4)
从方程（4）可以看出，如果x1和x3不互异，它们将导致整数等于真分数，这是一个矛盾。这就证明了x1和x3不互异是错误的。或者说，因为f（x1）=x2,且f（x2）=x1,又因为f（x3）=x2,且f（x2）=x3,导致x1=x2,且x3=x2,但三元互素方程的性质已证明x1与x2,x3与x2,是互素互异的（它们都不是“1与1”型互素），于是矛盾。说明从多个角度都证明了x1和x3是不相同的。
已知x1和x2每次都是互素的，x2和x3每次都是互素的。通过从这一轮联立方程中推导方程（3），可以确定x1和x3要么是解集基底互素，要么是解集因子同态，要么是解集因子同构。因此，可以推断前两种情况必须是互不相同的集合。在后一种情况下，根据解集基底互素定理的推论（详见《三元方程解集基底互素定理可解决大量久未解决的丢番图问题》一文，限于篇幅，这里不重复表达，因为前文已用三元方程互素定理独立完成证明了“无循环解”，其它升级版的证明方法，这里略表一下）。当存在一对同构的解集因子，而其他两组解集基底互素时，三元方程必须具有不同的解集（每次生成对象在未做后继迭代生成元时，生成对象解集与生成元解集必是互异的）。也就是说，如果x1和x3不是互异的（不是“1与1”型），那么x2、x3以及x1和x2就必有公因子，这与已知x2、x3以及x1和x2是互异互素的事实相矛盾，也与每次生成后继解都是本原解方程相矛盾。因此，即使两个解集素因子同构，它们也不是相同数。
互有不共素因子，因此x1和2^k•x3也必须是基底互素（或素因子同态或素因子同构）。当解因子是同态时，三元解集必须彼此不同，这是解集基底互素定理及其推论的必然结果。也就是说，x1和x3彼此不同。根据“没有奇数解1参与的相邻互素方程一定是解集基底互素”这一事实，我们可以推断出互异解集是基底互素的。如上所述，在考拉兹迭代方程中，三个迭代解具有解集互异传递性，解集a和b的互素（非“1与1”型互素），以及解集b和c的互素（非“1与1”型互素），可得到解集a和c互素（含移除公因子w后会互素）。
类似地，如果迭代方程的前三项可以用来构造三元方程，那么第四项和前三项中的任何两项都可以用来构造新的三元方程。
当初始值为x1时，迭代得到x4
9x1＋（3+2^k）＝2^k+t•x3 (1) 3x3＋1＝2s•x4 （此必为三元互素方程） (2)
根据 (1)-(2)·（3+2^k）⇒ 9x1 +2^k+t+s•x4 ＝{3•（3+2^k）+2^k+t}x3 (3)
(1)·3+（2）·2^k+t⇒ 27x1 +3•（3+2^k）+2^k+t＝2^k+t+s•x4 (4)
当初始值为x1时，可继续迭代得到x5
27x1 +3•（3+2^k）+2^k+t＝2^k+t+s•x4 (1) 3x4＋1＝2^r•x5 （此必为三元互素方程） (2)
根据 (2)·[3•（3+2^k）+2^k+t]-（1）⇒
27x1 +{3[3•（3+2^k）+2^k+t]+2^k+t+s}x4＝2^k+t+s+r•x5 (3) (1)·3+（2）·2^k+t⇒ 81x1 +3·[3•（3+2^k）+2^k+t]+2^k+t+s
＝2^k+t+s+r•x5 (4)
根据Collatz方程每次迭代的联立表达式，可以变换方程9x1+(3+2^k)=2^k+tx3和其他迭代到xn的方程，其中k≥0，t≥0。当这三个方程互素时，可以推导出x1≠x3；当变换得到的方程不是一个本原解方程，并且有一个公因子w时，它们都移除w因子后也必须是互素的，可以推导出x1≠x3。也就是说，当两个解因子是互素的，或者去掉两个解因数的公因子，然后互素，x1≠x3。当解集的每次迭代都有相同的解时，即当两个解因子同构时，它仍然是x1≠x3（当且仅当初始值等于1，则x1=x2=x3）。
在前两种情况下，当解因子是互素时，或者当两个解因子的公共因子w被移除后互素时（非1和1型互素），很容易证明x1 ≠x3，因为存在互素因子。当然，根据算术基本定理，这两个值是不同的。第三种情况在求解因子同构时要证明得稍微复杂一些。可用归谬法证明。
如果解因子同构，那么x2 是初始值，可以得到两组方程，3x2+1=2^t•x1和3x2+1=2^t•x3。同时，以x1和x3为初始值，还可以得到两组方程，3x1+1=2^t•x2和3x3+1=2^t•x2。由此得到x1=x2=x3，这与另两组“1和1”(存在公因子)型互素方程得到的解x1≠x2 和 x3≠x2相矛盾。“3x1+1=2^t•x2,3x2+1=2^t•x3 ，不难看出这两组方程都是本原解方程。根据三元方程的互素性质（已被证明），三元互质方程两项的值不全是1，当然x1≠x2，x3≠x2”。当三元互质方程两项的值全是1时，将存在x1=x2=x3=1。如果gcd（x1，x2）=1，则x1≠x2；当且仅当 x1=1, x2=1，则x1=x2；如果gcd（x2，x3）=1，则x2≠x3；当且仅当 x2=1, x3=1，则x2=x3。只有当Collatz函数的初始值为1时，它才会与生成的对象相同。
还可以证明，由从初始值x1到x4 或x5或x6或…或xn的变换得到的方程形成的联立方程，并且相邻迭代方程也存在x1≠x4 或 x5 或 x6 或…或 xn。它们的后继值都能用初始值代入考拉兹函数来直接表达，其中系数部分与常数部分，总是互素的（常数值始终是因子数2和因子数3的和，必始终与2，与3互素），有时候常数部分与初始值有公因子w，但移除后两项必是互素而互异的，除非初始值与常数值都是1，才会互素而相同。初始值与常数值移除公因子后仍互素，则同移除公因子后的后继值也必是互素的，说明初始值与后继值是互异的。因此，证明了Collatz函数每次迭代解集是非循环的。
从方程（4）可以看出，如果x1和x3不互异，它们将导致整数等于真分数，这是一个矛盾。或者在该项移除公因子w时，方程一侧有非1因子w，另一侧也有非1因子w。导致了初始值生成后继值的方程不是本原解方程，于是矛盾。x1和x4不可能彼此相同，一相同，x3和x4就会有公共因子，否则真分数会等于整数。可以证明，更多的迭代项xn与之前的所有项都不同，并且可以连续传递都有效。以此可证明xn总是与初始值x1不同，同理可证明后继值x2总是与xn不同。
继续迭代到xn。如果xn和初始值x1相同，则可以发现方程的左侧包含因子w，而方程的右侧不包含因子w。这是矛盾的。即每次两个方程构成的联立方程组一旦初始值与迭代生成的终端值相同，都会导致两个方程必不是三元互素方程，这与至少有一个方程是三元互素方程的事实相矛盾。因此，可以证明每个迭代解集的值域一定不包含定义域中的初始值，并且已经证明每个迭代解集不具有循环解。
1.2.2.用解集基底互素定理亦可证明每次迭代解集是不循环的。
类似地，如果迭代方程的前三项可以用来构造三元方程，那么第四项和前三项中的任何两项都可以用来构造新的三元方程。根据x4和x3的关系，以及x3和x1的关系，可以确定x4 和x1之间的关系是什么。如果前两组具有因子同构和因子同态，并且根据解集基互素定理（三元方程互素定理的升级版），可以立即确定第三个组x4和x1是解集基底互质，那么x4和x1是互异的。此证明方法不需要联立方程组来推导判断，直接分析解集互素、同态，同构关系来判定解集是否互异。
如果它是一对基底互素关系的解集，则可以确定第三组要么是因子同态，要么是基底互素，并且这个第三组必须彼此不同。如果是因子同构，则新构建的三元方程将没有原始解，并将获得三个相等的量，这与x4和x3、x1和x3互异的事实相矛盾。以此类推，通过添加新奇数初始值和前一次迭代中的任意两个奇数构建的新三元方程仍然会彼此不同。可以看出，Collatz迭代方程的奇解集具有互异传递的性质。
于是在三元迭代方程的每个解集中，x1和x2是基底互素，因此它们必须彼此不同。x2和x3是基底互素，所以它们必须彼此不同，所以x1和x3必须是基底互素或因子同构。并且由于x3和x4是基底互素，x1和x4必须是基底互素，这意味着Collatz迭代方程的每个解集都是基底互素，因此解集彼此不同，初始值与值域必须是互异集。而初始值与值域因子同构时，也依然是互异的，因为三元方程其它两对是基底互素的，否则必三元因子同构。这就证明了，Collatz迭代函数的初始值与值域，无论是基底互素，因子同态，还是因子同构，都是互异集。于是我们称之为Collatz迭代函数的每个解集都具有“互异”传递性。
每次x迭代生成的f（x）一定不是循环解集。只有当f（x）=1时，生成元和生成对象才会彼此等价。在其他情况下，f（x）不能生成与x的初始项相同的值，因为一旦可以生成与初始项生成元相同的值时，x解集和f（x）只有1会生成重复解，这也是唯一的循环解。以上证明了Collatz迭代方程的解集每次除了1之外不会循环，并且每个初始值的迭代解总会发展到另一种类型。每次迭代过程中所有因子2都被剥夺时，它将生成先前被剥夺的因子数2，最终迭代解将生成纯2因子数。因为根据每个迭代解集的质因子的相互差异，一方面，它会倾向于产生更大的质因子，另一方面，如果增量不足以产生更大质因子数，它会趋向于产生个数多些的更小质因子数。
下一步是证明每次迭代的解集不会发散，然后证明Collatz猜想。也就是说，除了1不会循环，有了1不会发散。求异思想，可在不循环的情况下解决问题。然后求同思想，可在不发散的情况下解决问题。也就是说，如果有一个均值1，它会收敛，如果没有均值1，它就会发散。
1.3.每次迭代的解集不得发散。
根据三元方程互素的思想，迭代方程的累积解x（包括f（x））除了1之外没有循环解。可以推导出迭代方程3x＋1＝（2k）•y,，即f(f(x))=（3x＋1）/2k。可以证明，每次选择初始值xi迭代产生的f（x）不是一个发散解集。简而言之，为什么除了1不循环？因为素数可无穷新增，为什么有了1不发散？因为素数可无穷递增。要密集变化就要兼顾满足某类循环。前者已由解集基底互素定理的相异传递性证明，后者可由解集基底同构定理的相同传递性证明。
素数的无穷性决定了Collatz迭代方程的每个解集不会循环，素数的无漏性决定了Collatz迭代方程的各个解集不会发散。这两个结论是用三元方程互素思想证明的。前者使用基底互素定理中素数类型变化的性质，后者使用基底互质定理中素数稠密变化的性质。两者的结合导致了Collatz方程每次迭代的解集不会发散。
根据Collatz迭代函数每次迭代的解集之间是否存在交集关系，可以分为三种情况，是可穷分类：
第一种假设。Collatz函数每次初始值的迭代解集都不能用初始值来获得无限集，换句话说，不同初始值的迭代解集如果是无限集只在无穷大处相交。
第二种假设。Collatz函数每次初始值的迭代解集都有一个无限集，但彼此之间没有交集。
第三种假设。Collatz函数每次初始值的迭代解集都有一个无限的交集，其中一个初始值是唯一固定值w，或者另一个初始值可不断小于固定值w。它们是否真的具有无限性将在以下三节中阐述。
1.3.1.两个迭代解集的初始值或后续值（包括1）存在一个有限交集。
也就是说，无限交集的初始值是无限大的，无限集在无限大处相交。正如平行线可在无限远处相交。在这种情形下，无限大处无论是否有交集，每次初始值的迭代解集都是有限集。该假设成立，Collatz猜想就成立。
两个迭代解集的初始值或后续值（包括1）具有有限的交集。因为无限集在无穷大处相交，所以有限集的初始值可以任意大。如果两个不同初始值的迭代解集存在交集1，则每个解集都是有限的，因为考拉函数的迭代解1将终止不同的迭代并出现循环。根据解集基底互素定理，当解集不包含1时，不存在循环表达式（如上文1.1.1所证明的）。其定义域和值域为{z|有限非空z≥1}。如果Collatz函数每次迭代的解集是一个有交集且没有固定值的无限集，则表明Collatz函数每一次迭代的解集是一个有限集。结果表明，Collatz函数每次迭代的解集都是有限集，初始值可以任意给定。
1.3.2.两个迭代解集的初始项或后续项（不包括1）没有交集。
每次迭代都有一个无限解集，但彼此没有交集。“如果一个Collatz函数每次迭代的解集是一个孤立的无限集，那么它一定不存在。根据解集基底互素定理和已证明的每个迭代集不循环性质，可知它们的初始值必须通过互异构造来获得，并且必须通过更小或更大的初始值来构造。当然1除外，1能互异构造也能自我构造。而含因子3的奇数在Collatz函数中既不能互异构造也不能自我构造”。
一旦可以从相互不同的迭代集构造初始值，就必须存在交集，这表明一定不存在孤立的无限集。孤立的迭代集不存在，这是一个重要判断，它是由“考拉兹迭代函数的每次值域都不包含定义域中的初始值”的定理推导出来的，它就是上文刚证明过的“每次初始值的迭代解集不循环”。
这就是刀不能砍该刀背，不能把自己抱起来脱离地面的道理，但天敌始终存在，一物降一物。不存在孤立的自给自足系统。孤立的形式系统当然不完备（也是哥德尔结论），但形式系统不可人为孤立化，一阶逻辑可向二阶逻辑开放升级，一阶皮亚诺系统可向二阶皮亚诺系统开放升级。
1.3.3.两个迭代解集的初始值或后续值（不包括1）的交集是无限的。
一个初始值是固定值，或者另一个初始值不断小于固定值。因为不存在孤立的无限集，所以每个迭代集在大于w之后全部都完全相交，并且在大于w的情况下，更大的无限集没有初始值，因为不可能构造初始值。
如果Collatz函数每次迭代的解集是在交集处具有固定值w的无限集，则表明Collatz函数每一次迭代的解集是具有任何给定初始值的无限集。它也可以分为两种，一种是在小于固定值w后可以任意给定，另一种是只有一个固定值w。任意给定，它表明巨无霸无限集的初始值是持续趋小的，这与已知的较小初始值是有限集的事实相矛盾；如果只有一个固定值，则每个迭代的解集被证明是非循环的，并且每个定义域都不包括初始值。无限集的初始值只能由相互不同迭代集构造。根据定义，大于w的无限集是稠密的（无3因子奇数的前提下），不存在互异集。
因此，互异集的初始值必须小于或等于w。一旦有一个小于w的初始值，就会与w是唯一值相矛盾，因此不可能只有一个固定值w为初始值的无限集,也不可能有一个无限趋小的固定值w为初始值的无限集。另外，从一个固定值w开始全部相交的无限集，也是不存在的，因为考拉兹函数的每次迭代解集，都不是稠密的自然数，既然有交集就会每次迭代解集全部一样，不可能稠密。这与w后的所有初始值都能获得无限集相矛盾。根据排中律，第二种假设与第三种假设都是错误的，那只有第一种假设（任意初始值的迭代解集都是有限集）是正确的。
因此，以上证明了在Collatz函数每次初始值的迭代解集都不存在初始值固定或不固定的无穷迭代集。每次初始值的迭代解集必会得到无限趋小的固定值w，也就是1（进入三元解因子完全同构情形），从而终止迭代。于是考拉兹函数每次初始值的迭代解集不发散获证。
还可换个角度更简单地证明，因为每次迭代方程的值域都不包含定义域中的初始值（根据已证结论解集不循环推得），而初始值必有其它初始值的生成元经有限步获得，假如每次迭代不能有限步生成比初始值更小的数，则说明所有的初始值都只能是由另一次更小的初始值（非1）生成的，那每次迭代解集就存在孤立的无限集（非稠密，每个迭代获得的后继数都是间隔递增的自然数），存在初始值w无法依靠另一次迭代构造，这与“任意初始值（含因子3的奇数除外）都能互异迭代构造，不可能无交集”相矛盾，由此证明了“每次迭代不能有限步生成比初始值更小的数”是不真的。如此这般，说明每次迭代解集中的数值是可不断趋小的，那最小的正整数是1，一旦生成了1，与解集完全同构定理相结合，便终止互异迭代了。解集不发散就获证。
以上从“不循环”“不发散”两个角度证明了，考拉兹函数每次迭代解集都不是无限集，也不是能生成多个奇数解的循环集，每次输入一个任意给定的奇数初始值都一定会迭代到1。考拉兹猜想获证。
以上是Collatz猜想的第一个逻辑证明的详细文本。以下是从代数计算角度完成证明Collatz猜想。
1.4. 偶数3x+1与2k必有无限交集。
除了使用三元方程解因子互素思想来证明每个解集不会循环，使用解因子互素及同构思想去证明每个解集不会发散之外，还有其他的方法来证明Collatz猜想。首先，可以用归谬法证明，任意奇数初始值的Collatz方程的解集必须包含无数个奇数解。如果3x+1=2^k没有奇数解，那么3x+2=2^k也没有偶数解即加权通解（奇数2k倍型的偶数在提取2k因子后是奇数，其加权本原解方程为3x+1=2^k），这与“自然数必须包含2^k”相矛盾。因为3x+2=2^k，当x是奇数时，方程没有解。当x是偶数时，奇数解的3x+1=2^k是其加权本原解方程；但奇数解的3x+3=2^k必须没有解，因为2^k必须没有3因子；奇数解的3x+2=2^k也必须没有解，因为左边是奇数加偶数仍是奇数，不可能等于右边的偶数。
当x是偶数时，3x+1=2^k(当x是奇数时)，3x+1=2^k方程一定没有解，因为左右奇偶校验不相等；3x+3=2^k方程也必须没有解，因为方程的左右奇偶性不相等；当3x+2=2^k，偶数解集是奇数的2^k倍时，本原解方程3x+1=2^k有解。因为没有加权本原解，所以没有加权通解，所以，当本原解方程3x+1=2^k没有解时，会导致全体自然数都没有2^k。
三个方程 3x+1=2^k, 3x+2=2^k, 3x+3=2^k 没有奇数或偶数解，这与“自然数n必须包含2^k”相矛盾，因为n={3x＋1}∪{3x＋2}∪{3x＋3}∪{3（x+1)＋1}∪{3（x+1)＋2}∪{3（x+1)＋3}。
所以3x+1=2^k必须有无限解，否则它的一般解3x+2=2^k不可能有无限解。这是用加权本原解思想得到的结果，加权本原解方程是通过内积逆运算获得的。加权本原解方程无解，则加权本原解方程必无加权通解。
1.5.用加权本原解的思想求解Collatz猜想。
如果Collatz方程的某一初始值的迭代解集不包含奇数1，则意味着方程的解集要么是无限循环的，要么是无限发散的。除1之外的本原解方程，其每次通解是否存在有限集呢？假如它们存在，让我们看看是否会推出矛盾。也就是说，如果3xi＋1＝2^k无奇数解，则看初始值的后继奇数xi+2 代入方程3x＋1＝2^k是否有解，也就是等于问方程3xi+6＋1＝2^k是否有解。
如果3xi＋1＝2^k 没有解，其后继奇数为初始值的方程3xi＋7＝2^k 也会没有解，其中（3,7,2^k-1）是Collatz方程每个初始项的后续解对应的权重数，并且具有不同迭代初始项的本原解方程没有三元基底解（1，1，-2）。在其中累积了一组加权数后，本原解方程一定没有相应的通解（这一判断来自“二维线性空间必有基”的思想）。在正整数的范围内，加权数（3,7,2^k-1）中的每个项都大于1。由于导出的基底解被假设为没有1，所以内积加权数之后的一般解必须没有1，因此初始值和后续奇数的迭代解集也必须没有1。
该结论可用归谬法证明获得。假如3xi＋1＝2^k 没有解，还可用不等式运算直接推出，其后继奇数为初始值（xi+2）的方程3xi＋7＝2^k 也没有解。因3xi＋1＝2^k 没有解，故它们是两种情形的不等式。一种是，3xi＋1+6＜2^k+6＜2^k+1（当k≥3时）（大量加较大量，大量仍大，加一个指数，等价于增加一个2^k，而2^k至少等于8）；另一种是，3xi＋1+6＞2^k+6＜2^k-1（当k≥3时）（小量减较大量，小量仍小，减一个指数，等价于减少一个2^k，而2^k至少等于8）。说明假如初始值xi的方程3xi＋1＝2^k 是不等式，则初始值（xi+2）的方程3xi＋7＝2^k 也必是不等式，其对应的方程也就无解。一旦后继奇数为初始值都无解获得2^k，说明所有的奇数为初始值都无法通过3x+1获得2^k。这里没有用到加权本原解的思想，也可以直接完成归谬证明。可见不等式的变换性质与没有二维素数基底便无二维素数映射空间的判定是等价的。
因此，根据数学归纳法，通过把大于1的奇数代入3x+1=2^k，可以得出大于1的所有奇数的每个迭代解集都不等于2的幂，这与{3x+1}完备集必须具有无穷多的2的幂这一事实相矛盾。在整数解方程中，利用本原解方程内积加权数必是本原解通解的思想，完成证明Collatz猜想是最简单的。如果无本原解，那么乘以加权数后仍然不会有这种类型的解，这可以直接推导出矛盾。因此，Collatz方程每次迭代的解集都与2的幂相交。它与2的幂有关。如果迭代解集中不存在2的幂，那么所有迭代解集都不具有2的幂。因此，证明了每个迭代解集必须包含2的幂。这是用加权本原解思想得到的结果，本原解方程是通过加权逆运算获得的。加权本原解方程无解，则加权本原解方程必无加权通解。
可见打酱油的小女孩不会走进不断循环的迷宫，不会误入深不可测的黑洞，原因是“解集基底互素”的思想决定了会自我超越。它不会重走老路，也不会误入邪路，会走不忘初心的创新之路。这一切决定了，考拉兹迭代方程每次迭代解集不是永远循环的，不是永远发散的，因为未确定解总是被相邻的确定解关联。这一切都是互异扩展的底层逻辑在推动，它是有中心有次第的。解集基底互素的思想，深刻明晰了不循环不发散的原因。不循环是因为每次迭代解集延伸具有互异传递性（加权本原解），不发散是因为每次迭代解集延伸具有相同传递性（基底通解）。正因为此，命题之间会发生多米诺骨牌效应，导致要么累计每次的迭代解集{3x+1}都不能表达2的幂（这样会矛盾），要么每个奇数初始值的考拉兹迭代解集都蕴含2的幂，从而实锤了每次迭代解集会收敛于1。到此考拉兹猜想获证。
（3x+1）问题可解性的核心思想总结如下：
（1）三元方程解因子互素关系和同构关系决定了不会循环迭代。独阴不生。强调互素。
（2）三元方程解因子互素关系和同构关系决定了不会发散迭代。孤阳不长。强调同构。
作者早期发表过用《用河图洛书原理破解了考拉兹猜想》，洛书发现离散量的幂尾数呈现模4的周期性，它是五行思想的来源，作者把它整理出来并用现代数学语言完成证明，确定了它是一条数学定理，叫洛书定理。用洛书定理可证明迭代解集必含2的幂数，再用基底互素思想可证明每次迭代解集也必含2的幂数，从而证明了考拉兹猜想。当时没精准表达基底互素思想，只笼统地表示为“一荣俱荣一损俱损”的思想，如果每次迭代解集不出现2的幂数，累计每个初项的迭代解集都不会出现2的幂数，否则会与基底互素思想冲突。
先证明了3x+1必蕴含无数组2的幂，因为洛书定理判定：因子2的个数递增与因子3的倍数递增，其乘积尾数会相邻对应，2^k=（3t+1）mod10有无数组解，剥离周期数，那么2^k=3t+1也必有无数组解。谷山志村和怀尔斯发现“有解方程可模表示，不可模表示是无解方程”的思想，与洛书定理的幂尾数周期律相一致。再证明每次迭代解集也与2k有交集。用反证法证明，假如某一迭代解集所对应函数y=3t+1不能表达2^k，与2^k完全无交集，即2^k≠3t0+1，而2k=3t0+1正是它的奇数后继解方程2^k=3t0+7的基底方程。现基底方程无解，故对它进行旋转和缩放的通解方程也必无解，同样2^k=（3t0+1）mod6也必无解。这将导致整个奇数解集都无解，但这与Collatz方程必有无限多个奇数解（已被洛书定理证明成立）相矛盾。可见每次迭代解与2k无交集不真。于是Collatz猜想获证。
本文从逻辑和计算的角度分别证明了Collatz猜想是成立的。Collatz猜想和相邻素数区间猜想都是周期迭代变换问题，本质上是加法代数数论问题。
完成Collatz猜想的证明可以澄清很多问题。比如，非确定问题，常混淆为不完备问题，让形式系统背锅“不作为”，且认为形式系统只会迭代封闭，不能递归进阶升级，这是哥德尔不完备思想到处滥用的后果。扩容和延拓理解已有公理体系可等价于添加新公理体系。Collatz猜想获证，说明不存在用已知“工具”不能解决的问题（永久型孤立系统不存在，形式系统的边界不可固化设置），当且仅当不能提出的问题才是已知“工具”不能解决的。问题一经提出，不管是可确定的和不可确定的，都能分解成可确定问题，继而能让已知“工具”解决或让已知“工具”进阶升级后解决，封闭迭代不能完成的事情，逐层递归可以完成。形式系统不完备，仅限于不可思议之对象，属于杞人忧天的范畴，此时跟思想者无关，因为该生命还不具备感受另类时空的触角，又何须烦忧呢！一旦放下我执就能层层体验，那时烦忧就是菩提。答案就隐藏在问题中。
在已有办法的基础上一定有新问题，没有一劳永逸解决所有问题的普适办法（哥德尔信仰）。在已有问题的基础上一定有新办法，没有固若金汤难倒所有办法的终极问题（图灵信仰）。两者结合才是可行的，各执一端必走向谬误。两条腿交替行进才是真相。不存在谁终止谁。谁包容对方多些谁就在引领当下。把办法圈起来就总有问题，把问题圈起来，就总有办法。
Collatz猜想不循环不发散的思想表明，除了1没有自动封闭的孤立系统，有了1没有永远开放的发散系统。跟思想者永远相关不存在（对应不循环），跟思想者永远无关不存在（对应不发散）。认为形式系统只能不完备，会与不循环相矛盾；认为问题系统只能不确定，会与不发散相矛盾。哥德尔看到了问题有发散的一面，工具有循环的一面，但这只是思想者很局部的一个特例选择，还有另类可能性。要用条件观去看哥德尔的不完备定理，并尝试把它关进“牢笼”，是Collatz猜想获证的一大衍生思想。“道可道，非常道”，道是可理解可表达的，但不可囿于常规理解不可囿于固定表达。它将重新找回希尔伯特的乐观：我们必须知道，我们必将知道。（文/罗莫）
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