开通VIP，畅享免费电子书等14项超值服
首页
好书
留言交流
下载APP
联系客服
1976 年的一天，《华盛顿邮报》的头版头条报道， 70 年代中期，在美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩弄一种数学游戏. 不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与老学究都纷纷加入. 什么游戏让他们如此着迷呢？
为什么这种游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论 n 是怎样一个数字，经过有限步运算后，最终都无法逃脱回到谷底 1 . 准确地说，永远也逃不出这样的宿命—落入底部的 4 → 2 → 1 循环. 如果从 2^n 出发，不论 n 如何庞大，迭代数字就像瀑布一样迅速坠落. 而其他的数字即使不是如此，在经过若干次的变换之后也必然会回到 4 → 2 → 1 的循环. 据日本和美国的数学家攻关研究，小于 7 乘以10的11次方 的所有的正整数，都符合这个规律. 那么是否对所有的正整数都符合这一规律呢？这就是著名的“冰雹猜想”.
大家都知道，小水滴在高空中受上升气流的推动，在云层中忽上忽下，越积越大并形成冰，最后突然落下来，变成了冰雹，这就是冰雹的形成过程. 上述猜想之所以叫冰雹猜想，是因为算来算去，数字上上下下，最后一下子像冰雹似的掉下来，变成了一个数字“1”.
最早是谁发现这个猜想的，现在似乎已经无从考证. 不过传说是从 20 世纪30 年代的“世界数学中心”—德国小城哥廷根传来的. 因此，在有的西方文献中，用当时在哥廷根的两位数学家：克拉茨或哈赛命名冰雹猜想，称为克拉茨问题或哈赛问题. 此外，也有用原籍波兰、后去美国的数学家乌拉姆命名的，即乌拉姆问题. 而在东方，由于这个问题是由日本数学家角谷静夫传播过来的，所以被称为“角谷猜想”. 而在今天的数学文献里，大家就简单地把它称为“3x + 1 问题”或“3n + 1 问题”.
目前，人们对冰雹问题的探讨大多是从迭代函数的角度进行的，因为该问题的内容就蕴含了一种迭代过程.
其中函数 T 定义如下：
利用 (1.6)，冰雹问题等价于：对任意给定的正整数 n，总存在一个数 k ，使得T(x) 的 k 次迭代的值恰为 1. 即：
人们从迭代函数 (1.7) 出发，建立了冰雹问题与图论和遍历理论的一些联系，得到了许多有意义的结果和猜想. 但距离该问题的彻底解决，看起来希望仍然十分渺茫. 1970 年，加拿大几何学家 Coxeter 悬赏 50 美元（约合人民币 306 元）解决 “冰雹猜想”；Paul Erdos 则把奖金提高到 500 美元；到 20 世纪 80 年代，有人又将赏金提高到 1000 英镑（约合人民币 9569 元）. 但时至今日，仍然没有一个人能够领赏.
如果迭代 (1.6) 的初值选为:T(1) = 7, 则有如下迭代过程有：
上述迭代过程如下图所示:
研究发现，假如这个正整数分解质因数只有因数 2，那么，无论这个数再大，都会很快跌落到 1，而且所应用的运算均为除以 2. 比如对正整数 65536，该变换过程为：
对于冰雹猜想，人们在研究的过程中，或进行了改动，或进行了推广，得出的结果也同样富有奇趣. 比如，有人就将规则改为：任写一个正整数，假如是偶数，则下一步除以 2 ，假如是奇数，则下一步乘 3 后减 1.
英国剑桥大学教授 John Conway 找到了一个正整数 27. 虽然 27 是一个貌不惊人的正整数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：（见图1.5(a)）首先，27 要经过 77 步的变换到达顶峰值 9232，然后又经过 34 步到达谷底值 1. 全部的变换过程（称作“雹程”）需要 111 步，其顶峰值 9232，达到了原有数字 27 的 341 倍多，如果以瀑布般的直线下落（2 的 n 次方）来比较，则具有同样雹程的数字 n 要达到 2 的 111 次方. 其对比何其惊人！
此外, 和初值为 27 的迭代情况类似，以距它只有一步之遥的 54 为初值的迭代也是是剧烈波动的。但是初值在 1 到 100 的范围内，像它们这样的剧烈波动是没有的. 波动情况可以通过对比图1.5和图1.3看出.