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四色定理
19世纪末，德国有位天才的数学教授叫闵可夫斯基，他曾是爱因斯坦的老师。爱因斯坦因为经常不去听课，便被他骂作“懒虫”。万万没想到，就是这个“懒虫”后来创立了著名的狭义相对论和广义相对论。闵可夫斯基受到很大震动，他把相对论中的时间和空间统一成“四维时空”，这是近代物理发展史上的关键一步。
闵可夫斯基
在闵可夫斯基的一生中，把爱因斯坦骂作“懒虫”恐怕还算不上是最尴尬的事…… 一天，闵可夫斯基刚走进教室，一名学生就递给他一张纸条，上面写着：“如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要四种颜色就足够了，您能解释其中的道理吗？”
闵可夫斯基微微一笑，对学生们说：“这个问题叫四色问题，是一个著名的数学难题。其实，它之所以一直没有得到解决，仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它。” 为证明纸条上写的不是一道大餐，只是小菜一碟，闵可夫斯基决定当堂掌勺，问题就会变成定理……
下课铃响了，可“菜”还是生的。一连好几天，他都挂了黑板。后来有一天，闵可夫斯基走进教室时，忽然雷声大作，他借此自嘲道：“哎，上帝在责备我狂妄自大呢，我解决不了这个问题。”
发展
当时，由大数学家黎曼、康托尔、庞加莱等创立的拓扑学之发展可谓一日千里，后来竟盖过大数学家高斯宠爱的数论，成为雍容华贵的数学女王。四色问题就是属于拓扑学范畴的一个大问题。拓扑学不仅引进了全新的研究对象，也引进了全新的研究方式。对数学来说，它不啻是一场革命。回顾拓扑学的历史，就可以说明为什么四色问题对于20世纪数学来说是重要的。通俗地说，连续变换就是你可以捏、拉一个东西，但不能将其扯破，也不能把原先不在一起的两个点粘在一起。比如，对于26个（大写）英文字母，一些拓扑学家就认为可将其分成6类：
第一类：D，O；第二类：H、I第三类：C，L，M，N，S，U，V，W，Z。第四类：K、X第五类：A、R第六类：E、F、G、J、T
第一类在连续变换下都可以变成O，第二类都可变成H,第三类则都可变成一条直线，第四类是一个叉，第五类是A，第六类是T。还有一些字母单独归一组：Y、Q、B、P
因为4是平面的色数（它也是一种示性数，可见示性数有很多种），体现了平面的拓扑性质，与国家的形状无关，将平面弯成曲面也没关系。数学家必须确定这个数究竟是5还是4，这很重要。如果国家分布在一个环面上，画地图最多得要七种颜色。
吊起数学家胃口的还有一个原因。乍一看，环面似乎更复杂，事实上，环面的七色定理却比较容易证明，希伍德当时就做到了；到1968年，其他所有复杂曲面的色数均已确定，唯有平面（或球面）的四色问题依然故我。看来，平面没有人们想象的那么简单。
1913年，伯克霍夫引进了一些新的技巧，导致1939年弗兰克林证明22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，温恩将22国提高为35。1968年，奥尔又达到了39国。1975年有报道，52国以下的地图用四色足够。可见，其进展极其缓慢。
圆梦
不过，情况也不是过分悲观。数学家希奇早在1936年就认为，讨论的情况是有限的，不过非常之大，大到可能有10000种。对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白，计算机！
从1950年起，希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。这时计算机才刚刚发明。两人的思想可谓十分超前。
1972年起，黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。到1976年，他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。于是从1月份起，他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查，历时1200个小时，作了100亿个判断，最终证明了四色定理。在当地的信封上盖“Four colorssutfice”（四色足够了）的邮戳，就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。
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费马大定理
费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: 'Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.'）
费马
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冰雹猜想
冰雹猜想来历
1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻。文中记叙了这样一个故事：
70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N（N≠0），并且按照以下的规律进行变换：
如果是个奇数，则下一步变成3N+1。如果是个偶数，则下一步变成N/2。
不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入。为什么这种游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个非零自然数，最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说，是无法逃出落入底部的4-2-1循环，永远也逃不出这样的宿命。
这就是著名的“冰雹猜想”。
强悍的27
冰雹的最大魅力在于不可预知性。英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。虽然27是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27要经过77步骤的变换到达顶峰值9232，然后又经过32步骤到达谷底值1。全部的变换过程（称作“雹程”）需要111步，其顶峰值9232，达到了原有数字27的342倍多，如果以瀑布般的直线下落（2的N次方）来比较，则具有同样雹程的数字N要达到2的111次方。其对比何其惊人！
但是在1到100的范围内，像27这样的剧烈波动是没有的（54等27的2的次方倍数的数除外）。经过游戏的验证规律，人们发现仅仅在兼具4k和3m+1（k,m为自然数）处的数字才能产生冰雹猜想中“树”的分叉。所以在冰雹树中，16处是第一处分叉，然后是64……以后每隔一节，产生出一支新的支流。
自从Conway发现了神奇的27之后，有专家指出，27这个数字必定只能由54变来，54又必然从108变来，所以，27之上，肯定可以出现不亚于2n的强大支流——33*2n(n=1，2，3……)，然而，27到4-2-1数列和本流2到4-2-1数列要遥远的多。按照机械唯物论的观点，从27开始逆流而上的数列群才能叫做本源，尽管如此，按照“直线下泻”的观点，一般依然把1-2-4-8……2n的这一支看作是“干流”。
等差数列验证法，此方法是根据冰雹猜想的验证规则而建立的一种验证方法，是以无限的等差数列来对付无限的自然数。首项偶数，公差是偶数，那么数列上的所有自然数都是偶数，全体数列除于2，如果首项是奇数公差是偶数，那么数列上全体自然数都是奇数，全体乘上3再加1。如果公差是奇数，首项也是奇数，那么第奇数项必定都是奇数则乘上3再加1，第偶数项必定都是偶数,则除于2。如果公差是奇数，首项是偶数，那么第奇数项必定都是偶数，则除于2，第偶数项必定都是奇数，则乘上3再加1。按照这样的计算规则计算下去，会遇到许多新的问题，考验验证者的智商。比如偶数的通项公式是2n，因为都是偶数所以除于2，得到n，这就是自然数。
按照忽略偶数不记录的验证方法进行验证，第一个被验证的奇数有可能是能被3整除的奇数，也有可能是不能被3整除的奇数。但是所到达所归结的第二个奇数，以及第三个奇数（假设存在），整个过程所到达所遇到所归结所访问到的每一个奇数，必定都不能再被3整除了。如果都从从能被3整除的奇数开始验证，路径上所遇到所归结的所到达所访问到的每一个奇数都必定不能再被3整除了，最终都能归结于1，那么必定遍历所有的奇数（遍历是离散数学的概念）。如果都从不能被3整除的奇数开始验证，那么路径上所遇到所到达所归结的所访问到的每一个奇数必定都不可能再被3整除了，最终都归结于1（等于说是漏下能被3整除的奇数没有被验证）。所以在顺向的冰雹猜想验证过程中，可以把能被3整除的奇数都命名为最起始点的奇数，1是终止点的奇数，而在逆向的冰雹猜想验证过程中则是相反的，1是最起始点的奇数，而能被3整除的奇数则是终止点的奇数。事实上在验证的过程中，不能被3整除的奇数，都在存在数量无穷多的上一步的奇数，占1/3的比例是能被3整除的奇数，占2/3的比例是不能被3整除的奇数，这一现象都跟自然数的情况出奇地巧合了。
又称为角谷猜想，因为是一个名叫角谷的日本人把它传到中国。
克拉茨问题
角谷猜想又叫叙古拉猜想。它的一个推广是克拉茨问题，下面简要说说这个问题：
50年代开始,在国际数学界广泛流行着这样一个奇怪有趣的数学问题：任意给定一个自然数x，如果是偶数，则变换成x/2；如果是奇数，则变换成3x+1。此后，再对得数继续进行上述变换。例如x=52，可以陆续得出26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1。如果再做下去就得到循环：(4，2，1)。再试其他的自然数也会得出相同的结果。这个叫做叙古拉猜想。
上述变换,实际上是进行下列函数的迭代
{ x/2 (x是偶数)C(x)=3x+1 (x是奇数) }
悬赏征解
克拉茨问题吸引人之处在于C迭代过程中一旦出现2的幂，问题就解决了，而2的幂有无穷多个，人们认为只要迭代过程持续足够长，必定会碰到一个2的幂使问题以肯定形式得到解决。正是这种信念使得问题每到一处，便在那里掀起一股“3x+1问题”狂热，不论是大学还是研究机构都不同程度地卷入这一问题。许多数学家开始悬赏征解，有的500美元，有的1000英镑。
数学难题
初步研究
下面是我对克拉茨问题的初步研究结果,只是发现了一点点规律,距离解决还很遥远。
克拉茨命题：设 n∈N，并且f(n)= n/2 (如果n是偶数) 或者 3n+1 (如果n是奇数)现用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...))。则存在有限正整数m∈N,使得fm(n)=1。(以下称n/2为偶变换,3n+1为奇变换,并且称先奇变换再偶变换为全变换)