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2、到的最小数.或者是冰雹原理中的“1”黑洞数.举个例子，三位数的黑洞数为495.简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693.按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495.之后反复都得到495.再如，四位数的黑洞数有6174.阿贝尔-鲁菲尼定理 定理定义：阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解.事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根.然而代数基本定理并没有说明根的具体形式.通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示.例
3、如，任意给定二次方程ax2+bx+c=0(a0)，它的两个解可以用方程的系数来表示：.这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解.三次方程，四次方程的根也可以使用类似的方式来表示.阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：，那么不存在一个通用的公式(求根公式)，使用和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解.或者说，当n大于等于5时，存在n次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到.换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式
4、.这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解.比如的解就是.具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦给出，因此相关理论也被称为伽罗瓦理论.简单来说，某多项式方程有代数解，等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群.对于一般的二次，三次和四次方程，它们对应的伽罗瓦群是二次，三次和四次对称群：，它们都是可解群.但一般的五次方程对应的是五次对称群，这是一个不可解群.当次数n大于等于5时，情况也是如此.阿贝尔二项式定理 二项式定理可以用以下公式表示：.其中，又有等记法，称为二项式系数，即取的组合数目.此系数亦可表示为杨辉三角形.它们之间是互通的关系.艾森斯坦因判别法
5、 艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式如果存在素数p，使得p不整除an，但整除其他ai(i=0，1，.，n-1)；p 不整除a0，那么f(x)在有理数域上是不可约的.奥尔定理 离散数学中图论的一个定理)如果一个总点数至少为3的简单图G满足：G的任意两个点u和v度数之和至少为n，即deg(u)+deg(v)n，那么G必然有哈密顿回路.它描述了简单图拥有哈密顿回路的一个充分条件.表达式deg(u)+deg(v)nG有哈密顿通路相关概念：简单图：没有重边和环的无向图.度数：某点所连接的边的数目.哈密顿回路：经过图的所有的点的一条回路.阿基米德折弦定理（阿基米德中点定理） AB和BC是O的两条弦
6、(即ABC是圆的一条折弦)，BCAB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.折弦定义：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦.伯特兰切比雪夫定理 伯特兰切比雪夫定理说明：若整数n 3，则至少存在一个质数p，符合n p 2n 2.另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n，存在一个质数p，符合n p 0，b0，且ab)，则糖的质量和糖水的质量比为：，若再添加c克糖(c0)，则糖的质量和糖水的质量比为：.生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：(ab0，c0).趣称之为“糖水不等式”.糖水不等式为不等式
7、中的难点.费马大定理 当整数n 2时，关于x， y， z的方程 xn + yn = zn 没有正整数解.莫利定理 也称为莫雷角三分线定理.将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.三余弦定理 设二面角MABN的度数为，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为，和平面N所成的角为，则(如图).(注明：折叠角公式(又名：三余弦定理)以及三正弦定理的应用为立体几何的解题带来了许多方便.)若已知二面角其中一个半平面内某直线与二面角的棱所成的角，以及该直线与另一半平面所成的角，则可以求该二面角的正弦值.密克
8、定理是几何学中关于相交圆的定理.1838年，奥古斯特密克(Auguste Miquel)叙述并证明了数条相关定理.许多有用的定理可由其推出.定理陈述：三圆定理：设三个圆C1， C2， C3交于一点O，而M， N， P分别是C1 和C2， C2和C3， C3和C1的另一交点.设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C.那么B， N， C这三点共线.逆定理：如果是三角形，M， N， P三点分别在边AB， BC， CA上，那么AMP，BMN，CPN 的外接圆交于一点O.完全四线形定理：如果ABCDEF是完全四线形，那么三角形的外接圆交于一点 O，称为密克点.四圆定理：设C1， C2，C3
9、， C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2 和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，A4和B4是C1和C4的交点.那么A1， A2， A3， A4四点共圆当且仅当B1， B2， B3， B4四点共圆.五圆定理：设ABCDE为任意五边形，五点F， G， H， I， J分别是EA和BC ， AB和CD， BC和DE， CD和EA， DE和AB的交点，那么ABF，BCJ CDI，DEH，AEG的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，不穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心.皮克定理 一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所
10、谓格点.如果取一个格点做原点O，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系.这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点.如图中的O，P，Q，M，N都是格点.由于这个缘故，我们又叫格点为整点.一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形.有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出.这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理.给定顶点坐标均是整点(或正方形格点)的简单多边形，皮克定理说明了其面积S和内
11、部格点数目n，边上格点数目s的关系：(其中n表示多边形内部的点数，s表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积)抽屉原理(鸽巢原理，重叠原理，狄利克雷抽屉原理) 第一抽屉原理：原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件.原理2：把多于mn(m乘n)+1(n不为0)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于(m+1)的物体.原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体.第二抽屉原理：把(mn1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m1)个物体(例如，将35-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少
12、于等于3-1=2).德摩根定律 在命题逻辑和逻辑代数中，德摩根定律(或称德摩根定理)是关于命题逻辑规律的一对法则.在命题逻辑中存在着下面这些关系：非(P且Q)=(非P)或(非Q)；非(P或Q) = (非P)且(非Q).形式逻辑中此定律表达形式：，；在集合论中：，；在概率论中：，.迪尼定理 在数学中，迪尼定理叙述如下：设 X 是一个紧致的拓扑空间，f(n)是 X 上的一个单调递增的连续实值函数列，即使得对任意 n 和 X 中的任意 x 都有fn(x)fn+1(x).如果这个函数列逐点收敛到一个连续的函数f，那么这个函数列一致收敛到f.这个定理以意大利数学家乌利塞迪尼命名.对于单调递减的函数列，定
13、理同样成立.这个定理是少数的由逐点收敛可推出一致收敛的例子之一，原因是由单调性这个更强的条件.注意定理中的f一定要是连续的，否则可以构造反例.比如说在区间 0，1 上的函数列 xn.这是一个单调递减函数，逐点收敛到函数f：当 x 属于 0，1) 时f(x)等于 0 ，等于 1.但这个函数列不是一致收敛的，因为f不连续.等周定理 等周定理，以及其面积之间的关系.其中的“等周”指的是周界的长度相等.等周定理说明在周界长度相等的封闭几何形状之中，以圆形的面积最大；另一个说法是面积相等的几何形状之中，以圆形的周界长度最小.它可以以不等式表达：若P为封闭曲线的周界长，A为曲线所包围的区域面积，等周问题有
14、许多不同的推广，例如在各种曲面而不是平面上的等周问题，以及在高维的空间中给定的“表面”或区域的最大“边界长度”问题等.在物理中，等周问题和跟所谓的最小作用量原理有关.一个直观的表现就是水珠的形状.在没有外力的情况下(例如失重的太空舱里)，水珠的形状是完全对称的球体.这是因为当水珠体积一定时，表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值.根据等周定理，最小值是在水珠形状为球状时达到.多项式余数定理（余数定理） 多项式余数定理是指一个多项式f(x)除以一线性多项式x-a的余数是f(a).例如，的余数是.棣莫弗定理 设两个复数(用三角函数形式表示)，则：.棣莫弗-拉普拉斯定理 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，即
15、二项分布以正态分布为其极限分布定律.设随机变量n=(n=1，2)，则对任意实数x有.笛卡尔定理 (1)若平面上四个半径为r1，r2，r3，r4的圆两两相切于不同点，则其半径满足以下结论：(1)若四圆两两外切，则；若半径为r1，r2，r3的圆内切于半径为r4的圆中，则.(2)若五个球的半径分别是ri(i=1，2，.，5)，满足任意一个球与另外四个球外切，则.多项式定理 的展开式的通项是，所以多项式的展开式是，其中表示通项在满足条件：为非负整数，并且下所有项的和式.笛沙格定理 笛沙格同调定理(同调三角形定理)：平面上有两个三角形ABC，DEF，设它们的对应顶点(A和D，B和E，C和F)的连线交于一
16、点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.定理推广：其逆定理也成立：笛沙格对合定理：一条直线与一个完全四点形的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶合.一个完全四点形(四线形)实际上含有四点(线)1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14，31与24，12与34称为对边(对顶点).(该定理在空间中也成立.)费马点 “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.若给定一个三角形ABC的话，从这个
17、三角形的费马点P到三角形的三个顶点A，B，C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.定义1.若三角形3个内角均小于120，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120.所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆.托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点.这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样.这个点因此也叫做托里拆利点.）2.若三角形有一内角大于等于120
19、子），都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数.把1.4.9.16.这样的数称为正方形数)之和，四个平方数之和，五个五边形数之和，依此类推.一个三角形数的例子，是17 = 10 + 6 + 1.一个众所周知的特例，是四平方和定理，它说明每一个正整数都可以表示为四个平方数之和，例如7 = 4 + 1 + 1 + 1.合比定理 在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理.即：如果，那么（b，d0）.分比定理 在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理.即：如果
20、那么（b，d0）.合分比定理 一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比.这叫做比例中的合分比定理.即：如果那么（b，d，a-b，c-d0）.等比定理(更比定理) 一个比的前项与另一个比的后项互调后，所得结果仍是比例.即：如果那么（a，b，c，d0）.推论：若如果，则.圆幂定理 内容：如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A，B与C，D，则PAPB=PCPD.圆幂定理是对相交弦定理，切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳.根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的
21、积相等.(2)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.(3)割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A，B；C，D，则有PAPB=PCPD.古尔亭定理 (古尔丁定理，帕普斯几何中心定理)定义：以平面图形绕同一平面上的任何一条与该图形不相交的直线旋转一周所产生的体积，等于图形的面积乘以其重心相应半径所画的圆周长.表面积：有一条平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴.由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积A，等于曲线的长度s乘以曲线的几何中心经过的距离d1，即：A=sd1.例：设环面圆管半径为r，圆管中心到环面中心距离为R，把环面看成
22、上面提到的曲线，其几何中心是圆管中心.所以环面表面积为(2r)(2R)=42rR.若有平面连续曲线y=f(x)，求x在a，b时，曲线以x轴旋转所得的曲面表面积.可考虑一小段曲线，其几何中心便是y，曲线长度为，因此这个曲面的表面积便是：.体积：d1由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积V，等于平面形状面积S乘以平面形状的几何中心经过的距离的积：V=sd1.再考虑一般平面曲线下的面积的情况，可得旋转体体积：.共轭复根定理 一元二次方程，若用公式法解得根（即）判别式小于零，则该方程的根为2个共轭复根.因为负数在开平方时存在+i和-i，所以如果有复数根则必是共轭的.定理定义：复根的
23、意思就是说当你解微分方程的特征方程时，不能求出实数解，也就是说特征方程的判别式是小于零的，这时方程没有实根，有复根.复数是建立在i的平方等于 -1的基础上的.你在开根号的时候如果根号内的数字式小于零的话，你就直接按照正数开根号，得出结果后后面加个小写字母i就可以得到复数了，由复数得到的方程的解就是复根.哥德巴赫-欧拉定理 不小于4的有限偶数都是某2个素数相加的和.格尔丰德-施奈德定理 格尔丰德-施奈德定理（GelfondSchneider theorem）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果.定理定义：如果和是代数数，其中0且1，且不是有理数，那么任何的值一定是超越数.(代数数：能满足整系数
24、代数方程的数；超越数：不满足任何整系数代数方程的数；整系数代数方程：方程中的未知数的系数是整数的方程.如：2x+1=0，x2+3x+2=0).勘根定理 勘根定理(the root located theorem) 假设函数f(x)在闭区间a， b中连续，且函数值f(a)与f(b)异号（即，一为正一为负）.则在区间(a， b)中找到一个数c，使得f(c) = 0（即，c为函数f(x)的根）.韦达定理 定理定义：设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)中，两根x，x有如下关系：，.根心定理 根心定理：三个两两不同心的圆，形成三条根轴，则必有下列三种情况之一：（1） 三根轴两两平行；（2） 三根轴
25、完全重合；（3） 三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心.相关定义：点对圆的幂：平面上任意一点P(x，y)对圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的幂定义为以下函数：f(x，y)=x2+y2+Dx+Ey+F.考虑到圆的方程也可以写为圆心-半径的形式：(x-a)2+(y-b)2-r2=0.由此也可以把点对圆的幂定义为：f(x，y)=(x-a)2+(y-b)2-r2=d2-r2，这里是点P到圆心C(a，b)的距离，r是圆的半径.点对圆的幂的几何意义是明显的：(1)若点在圆外，则幂为点到圆的切线长度的平方；(2)若点在圆上，则幂为0；(3)若点在圆内，则幂为负数，其绝对值等于过点P且垂直
26、于CP的弦长的一半的平方.根轴：平面上两不同心的圆x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0，(i=1，2)，(D1-D2)2+(E1+E2)20.显然，对两圆等幂的点集是直线：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.该直线称为两圆的根轴.根轴必垂直于两圆的连心线.(1)若两圆相交，则根轴就是连接二公共点的直线；(2)若两圆相切，则根轴就是过切点的公切线；(3)若两圆相离或内含，则根轴完全位于两圆之外，但仍垂直于两圆的连心线.海伦公式(希伦公式，海龙公式，希罗公式，海伦秦九韶公式) 公式表述：假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由以下公式求得：，而公式里
27、的p为半周长（周长的一半）：.婆罗摩笈多公式 婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算.若圆内接四边形的四边长为a，b，c，d，则其面积为：其中s为半周长：.华勒斯波埃伊格维也纳定理 指两个简单多边形面积相等，那么其中一个能分割成有限多块多边形，经过平移和旋转，拼合成第二个多边形.勒让德定理 在正数n!的素因子标准分解式中，素数p的指数记作Lp(n!)，则.欧拉常数 欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限：.由无穷级数理论可知，调和级数即调和数列(定义1：正整数的倒数组成的
28、数列,称为调和数列；定义2：若数列an满足（nN*，d为常数），则称数列an)各元素相加所得的和是发散的。但可以证明，存在极限。由不等式可得，故Sn有下界。而，再一次根据不等式，取，即可得，所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，即存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为。莫雷角三分线定理 定理定义：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。米迪定理 E米迪在1836年证明了关于0.999这类分数的一个一般的结果，现在称为米迪定理。定理定义：米迪定理说明若有质数p，少于p的正整数a，大于1的正整数b和任意
29、正整数n，使得在b进位制内的循环节长度是2n，且将这个分数用循环小数写成，则有以下结论：ai+ai+n=b1。射影定理 (欧几里德定理)在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。在RtABC中，ABC=90，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：BD=ADCD，AB=ACAD，BC=CDAC.帕斯卡定理 帕斯卡定理指圆锥曲线内接六边形（包括退化的六边形）其三对边的交点共线，与布列安桑定理对偶，是帕普斯定理的推广。定理定义：如果一个六边形内接于一条二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，
30、那么它的三对对边的交点在同一条直线上。普罗斯数 普罗斯数是如下形式的数：k2n+1，其中k是奇数，n是正整数，且2nk。既是普罗斯数又是素数的整数，称为普罗斯素数。普罗斯定理 普罗斯定理是判断普罗斯数是否为素数的方法。如果p是普罗斯数，那么如果对于某个整数a，有，则p是素数。这是一个有实际用途的方法，因为如果p是素数，任何选定的a都有百分之50的概率满足这个关系式。例如：对于p=3，21+1=3能被3整除，所以3是素数。对于p=5，32+1=10能被5整除，所以5是素数。对于p=13，56+1=15626 能被13整除，所以13是素数。对于p=9，不存在a使得a4+1能被9整数。斐波那契数 (
31、斐波那契数列，黄金分割数列，费波那西数列，费波拿契数，费氏数列)，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n2，nN*），用文字来说，就是斐波那契数列列由0和1开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。齐肯多夫定理 (齐肯多夫表述法)表示任何正整数都可以表示成若干个不连续的斐波那契数（不包括第一个斐波那契数）之和。四色定理 (四色猜想、四色问题)，是世界三大数学猜想之一。四色定理的本质许多人认为是在平面或者球面无法构造五个或者五个以上两两相连的区域。这个概念实际上是错误的，因
32、为有许多种方法在代数几何上可以完美的证明任意一个区域无法同时与其他四个任意区域两两相连。但实际上证明的时候会把区域之间相互重叠的关系否定掉。其本质在于地图上是否可以只用四种颜色着色，从而演变出一个几何上的数学问题，但之所以至今只能用计算机暴力证明，其根源仍然无法得知，有诸多的猜想，但却仍然是一个无法以书面简单证明来完成的难题。算术基本定理 任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，这里P1P2.0时，有一个实根和两个复根；=0时，有三个实根，当p=q=0时，有一个三重零根，p，q0时，三个实根中有两个相等；0时，有三个不等实根。三个根的三角函数表达式（仅当p0时，盛金公式2：，盛金公式2的三角式：，其中，i2=-1。当=B24AC=0时，盛金公式3：其中。当=B24AC0，1t0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。当=B24AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。当=B24AC0时，方程有三个不相等的实根。盛金定理：当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A0时，盛金公式4无意义；当t1时，盛金公式4无意义。当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A0的值？盛金公式4是否存在t1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=
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